2016-11-05

リーマンゼータ関数の収束条件

数学

大学の数学の授業で広義積分を習ってから、その魅力にとりつかれてしまったので、最近は広義積分のなかでも比較的有名な「リーマンゼータ関数」をいじってばかりいる。簡単に言えば、リーマンゼータ関数とは、

$\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

で表される関数のことである。その他詳しくは下記参考サイトにて。

数学の授業で、広義積分 $f(x)$ の極限を求めるために、

$\sum^{\infty}_{n=1} f(x)$ が収束する $\Longleftrightarrow \lim_{M \to \infty} \int_{1}^{M}f(x)dx$ が収束

を使えば良いと学んだので、これを使ってリーマンゼータ関数の収束発散を調べていた。

$\int_{1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{x} }dx = 2 ( \sqrt{n} - 1 ) \to \infty$ $(n \to \infty)$
よって $\zeta ( \frac{1}{2} )$ は発散

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x}dx = \log n \to \infty$ $(n \to \infty )$
よって $\zeta ( 1 )$ は発散

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x \sqrt{x} }dx = 2( 1 - \frac{1}{ \sqrt{n} } ) \to 2$ $(n \to \infty )$
よって $\zeta ( \frac{3}{2} )$ は収束

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x^2}dx = 1 - \frac{1}{n} \to 1$ $( n \to \infty )$
よって $\zeta (2)$ は収束
( $\zeta (2)$ の収束値はバーゼル問題として有名 ( バーゼル問題 - Wikipedia ) )

ここからリーマンゼータ関数の収束条件をどこまで絞れるかと考えていたところ、Twitterにて「ゼータ関数に関する収束、発散の条件は定理としてまとめられている」と教えていただいたので、調べてみることに。
すると「複素数sの実部が１より大きいとき、 $\zeta (s)$ は収束する」と書いてあった。

そういえば、と思って $n \in \mathbb{R}$ のときの $\int x^n dx$ の積分を思い出してみると、

$n \neq -1$ のとき $\int x^n dx = \frac{ x^{n+1} }{ n+1 } + C$
$n = -1$ のとき $\int \frac{1}{x} dx= \log x +C$

であり、 $n=-1$ のときは $x \to \infty$ で発散するのは明らかで、
$n \neq -1$ のときの $\frac{ x^{n+1} }{ n+1 }$ について $x \to \infty$ で収束する条件は、
$x$ の指数が負になること、つまり、 $n+1 < 0 \Longleftrightarrow n < -1$
よって、たしかに実数の場合でいえば、 $s > 1$ のとき $\zeta(s)$ は収束する。

以上のように、 $s \in \mathbb{R}$ における $\zeta (s)$ の収束条件は比較的簡単にわかるんだなと実感。
$s \in \mathbb{C}$ にまで拡張すると、おそらく複素数の積分の知識がいるはずなので、今の私には無理だと早々に諦めることにした。
いつか理解できるようになれたら、また記事を書きたいと思った。

参考サイト
リーマンゼータ関数 - Wikipedia
ゼータ関数の定義と基本的な話 | 高校数学の美しい物語

2016-11-04

「爆笑」するのは誰なのか

思ったこと日本語

Twitterのタイムラインで流れてきたツイートに驚いたので、私が思ったことと、それに関連して調べたことをメモしておく。

その内容は、「リツイートで回ってきたツイートを見て、電車の中なのに爆笑してしまった」というもので、私が引っかかったのは「爆笑」という言葉。

「爆笑」という単語の意味は「大勢のひとが同時に笑うこと」である。この人はもしかして電車の中で知人と同じツイートを見ながら盛り上がっていたのかとはじめは思ったけれど、前後のツイートからそれはないと確信したので、おそらく「誤用」なのだろうと結論づけた。

言葉の乱れや誤用という言葉をよく目にする(それは主にいわゆる若者言葉やら抜き言葉についての言及のときに使われている)が、私はあまりこれらの言葉が好きではなくて、それは私が「言葉は移り変わっていくもの」だという認識をしているという理由からくる(だから私がこれらの言葉をつかうときは、「」をつけたり、「いわゆる」という言葉をつけたりしている)。

「爆笑」という言葉を「一人で大笑いする」という意味で使われているのを「誤用」だと思うのは今だけで、もう少しすれば、人数の考慮なしにつかえるようになるかもしれない。それがいつになるかはぜんぜんわからないし、すでに辞書によっては一人で笑う場合も使えると書いてあるらしい(それでも未だほとんどの辞書は複数人で笑うことだとしている)。

「言葉は移り変わっていくもの」だとしても、その変遷の間は意味が錯綜して、意思疎通が困難になる。複数の意味を持っているわけだから、言葉の使用者がどの意味で使ったのかを正しく判断しなければ、誤解が生まれてしまう。言葉の移り変わりは、より意思疎通をしやすくするためにあるはずなのに、弊害がとても大きいということを再認識した出来事だった。

以下参考にしたサイト

「失笑」と「爆笑」の笑い方の違いについて～誤用の多い失笑と爆笑の正しい意味は | コトバノ

コラム −日本語の乱れ−

言葉の意味が時代と共に変わるのであれば - 日本語解決済 | 教えて！goo