リーマンゼータ関数の収束条件
大学の数学の授業で広義積分を習ってから、その魅力にとりつかれてしまったので、最近は広義積分のなかでも比較的有名な「リーマンゼータ関数」をいじってばかりいる。簡単に言えば、リーマンゼータ関数とは、
で表される関数のことである。その他詳しくは下記参考サイトにて。
数学の授業で、広義積分 の極限を求めるために、
が収束する が収束
を使えば良いと学んだので、これを使ってリーマンゼータ関数の収束発散を調べていた。
よって は発散
よって は発散
よって は収束
よって は収束
( の収束値はバーゼル問題として有名 ( バーゼル問題 - Wikipedia ) )
ここからリーマンゼータ関数の収束条件をどこまで絞れるかと考えていたところ、Twitterにて「ゼータ関数に関する収束、発散の条件は定理としてまとめられている」と教えていただいたので、調べてみることに。
すると「複素数sの実部が1より大きいとき、 は収束する」と書いてあった。
そういえば、と思って のときの の積分を思い出してみると、
のとき
のとき
であり、 のときは で発散するのは明らかで、
のときの について で収束する条件は、
の指数が負になること、つまり、
よって、たしかに実数の場合でいえば、 のとき は収束する。
以上のように、 における の収束条件は比較的簡単にわかるんだなと実感。
にまで拡張すると、おそらく複素数の積分の知識がいるはずなので、今の私には無理だと早々に諦めることにした。
いつか理解できるようになれたら、また記事を書きたいと思った。